Waarschijnlijkheid

Wat betekent de golffunctie ψ? Een trillende vioolsnaar kunnen we ook met een golffunctie beschrijven, en hier geeft ze de grootte van de uitwijking ten opzichte van de snaar in rust aan. Maar wat is dan de overeenstemmende uitwijking voor een elektron? Wat ‘golft’ er in een elektronengolf ? Schrödinger dacht eerst dat een elektron zou kunnen beschouwd worden als een trillende wolk negatieve lading, waar ψ dan verband zou houden met de grootte van deze trilling. De Broglie dacht aan een soort materiegolf die het elektron op zijn baan omheen de kern zou begeleiden. Geen van deze interpretaties bleek echter te kloppen.

Max Born, 1882-1970

Max Born, 1882-1970

In 1926 kwam Max Born met het de voorstel niet de golffunctie zelf, maar het kwadraat ervan (preciezer het product van ψ met zijn complex toegevoegde) te interpreteren als een maat voor de kans dat een bepaalde door ψ beschreven kwantumgebeurtenis zich voordoet.

In ons dagelijks leven zijn we meestal gewend dat het begrip “kans” iets zegt over onze onwetendheid. Als we met een eerlijke dobbelsteen gooien, weten we dat de kans om een 3 te gooien 1 op 6 is. Dat wil zeggen: gegeven de informatie die we hebben, kunnen we niet bepalen welke uitkomst de worp zal hebben; alle zes de mogelijke uitkomsten zullen in soortgelijke omstandigheden even vaak voorkomen. Als we echter heel precies zouden weten hoe we de dobbelsteen vasthouden, hoe hard we die gooien, hoe ruw het tafeloppervlak is waarover de dobbelsteen rolt, enzovoort, zouden we in principe vooraf exact kunnen uitrekenen welk getal er na de worp boven komt te liggen. In dit geval is het begrip kans dus een gevolg van het feit dat we niet exact de situatie kennen.

Orbitale_1s

De kans om een elektron met n = 1, l = 0 en m=0 rond de kern aan te treffen. Hoe groter het aantal stippen per oppervlakte-eenheid, hoe groter de kans.

Bij kwantumkansen ligt dat heel anders. Laten we om dat te begrijpen nog eens kijken naar het tweespleten-experiment Om het interferentiepatroon op het scherm te kunnen verklaren, moeten we daar aannemen dat het elektron door allebei de spleten ging: het is op een gegeven moment voor bijvoorbeeld 50% in de ene spleet, en voor 50% in de andere. Als we bij de spleten een meting zouden doen, zouden we het deeltje in één van de spleten aantreffen, maar als we die meting niet doen, is het deeltje echt ‘op beide plaatsen tegelijk’. Kwantumgrootheden hebben niet één specifieke waarde, maar allerlei verschillende waardes tegelijk met allerlei verschillende kansen. Het is niet zoals met de dobbelsteen, waarbij we door meer te weten de kans door zekerheid kunnen vervangen.

Toegepast op een elektron in een atoom betekent dit ook dat met de golffunctie (of liever met het kwadraat ervan) niet de baan van het elektron kan berekend worden (het hééft immers geen baan) maar wel de kans om het op een bepaalde plaats of in een bepaalde richting te vinden.

Na het onzekerheidsprincipe van Heisenberg werd het zinloos om over de baan van een elektron in een atoom te spreken. Een baan wordt immers op elk moment gekenmerkt door een welbepaalde plaats en snelheid.

Verloop van de waarschijnlijkheid om het 1 s elektron van waterstof aan te treffen in een bolschil met straal r.

Verloop van de waarschijnlijkheid om het 1 s elektron van waterstof aan te treffen in een bolschil met straal r.

De vraag waar men zich vroeger zo druk over maakte Hoe beweegt het elektron in een atoom? werd nu vervangen door een heel andere vraag, nl. Wat is de kans om een elektron op een bepaalde plaats te vinden? Deze kans kan van punt tot punt variëren. Het is natuurlijk onmogelijk om uit deze punten een baan te construeren.

Naast de vraag wat de kans is om het elektron op een bepaalde plaats te vinden, kan men zich ook afvragen welke de kans is om een elektron op een bepaalde afstand van de kern te vinden. Men berekent dan de kans om het elektron te vinden in een bolschil met straal r en dikte dr rond de kern. Voor een waterstofatoom met n = 1 en l =0 (1 s) komt de maximale waarschijnlijkheid over met de straal van het atoom in het vroegere model van Bohr.