Kwantumgetallen

In de beginjaren van de kwantumtheorie hielden de wetenschappers nog vast aan het planetenmodel van het atoom: elektronen bewegen in cirkelvormige of elliptische banen omheen de atoomkern. Maar om ervoor te zorgen dat de banen stabiel zouden zijn en om de spectraallijnen van atomen te verklaren, moesten deze banen aan heel speciale voorwaarden voldoen die we niet terugvinden bij planetenbanen. Deze voorwaarden werden uitgedrukt in kwantumgetallen. Kwantumgetallen beperken de mogelijke of toegelaten banen van een elektron in een atoom.

Niels Bohr had in 1913 het begrip stationaire baan ingevoerd: een elektron in een atoom verliest geen energie als het zich op een baan bevindt waarvoor geldt:

mvr = nh/2π,

m = massa van het elektron,  v = snelheid; r = straal van de elektronenbaan, h = constante van Planck

n kan elke gehele waarde vanaf 1 aannemen. Het wordt het hoofdkwantumgetal genoemd. Het hoofdkwantumgetal is één van de eigenwaarden waar Schrödinger het in zijn artikel van 1926 over had.Met behulp van deze formule kon Bohr een model opbouwen waarmee hij de golflengten (of frequenties) van het emissiespectrum van waterstof kon voorspellen.

Nauwkeurig onderzoek van deze spectra toonde echter al gauw aan dat in een aantal gevallen waar Bohr één enkele spectrale lijn voorspelde er meerdere te zien waren, waarvan de golflengtes niet veel van elkaar verschilden. Om dit probleem op te lossen voerde Arnold Sommerfeld in 1915 een bijkomende hypothese in:

elektronenbanen kwantumgetalMet elke waarde van het kwantumgetal n komen er n elektronenbanen overeen met lichtjes verschillende energie en die alle een andere excentriciteit hebben. Excentriciteit (e) is een eigenschap van een ellipsvormige baan: ze wordt gegeven door

excentriciteit

brandpunten-ellips

Ellips; f1 en f2 zijn de brandpunten, a is de halve grote en b de halve kleine as.

…met b de halve kleine en a de halve grote as. Als b en a gelijk zijn dan is de excentriciteit 0.

Elektronenbanen met dezelfde waarde voor n worden van elkaar onderscheiden door een nieuw kwantumgetal dat het baan- of nevenkwantumgetal wordt genoemd. Het wordt voorgesteld door l. Voor n = 4, kan  l = 0, 1, 2 of 3 zijn.

Door de studie van spectra in een magnetisch veld bleek dat elke spectraallijn met gegeven baankwantumgetal nog eens in verschillende dicht bij elkaar gelegen lijnen werd opgesplitst. Hiervoor werd weer een nieuw kwantumgetal ingevoerd: het magnetisch kwantumgetal m. m kan alle gehele waarden aannemen van – l tot + l. Men dacht een tijdje dat m te maken had met de hoek die het impulsmoment van de elektronenbaan ten opzichte van een magnetisch veld kon hebben. Ook de kwantumgetallen l en m komen in de vergelijking van Schrödinger als eigenwaarden tevoorschijn.

De kwantumtheorie werd door het invoeren van steeds maar nieuwe kwantumgetallen en andere bijsturingen steeds ondoorzichtiger. Er was dringend bood aan een synthese. Die kwam er rond dezelfde tijd langs twee geheel verschillende invalshoeken. De ene werd bedacht door Werner Heisenberg en de andere door Erwin Schrödinger.